El rincón de la Física
Kepler, el hombro del Gigante
Mysterium Cosmographicum (1596), Astronomia Nova (1609), Harmonices Mundi (1619)
Por Federico Muñiz
Desde la Antigüedad se conocían cinco planetas, cinco vagabundos que surcaban el cielo contra el fondo de estrellas, visibles en la noche, cada uno a su propio ritmo y con su brillo característico. Mercurio, rápido y escurridizo, siempre cerca del Sol, veloz mensajero de los dioses; Venus, rivalizando en luminosidad y belleza con la propia Luna; Marte, encendido de rojo intenso, viajando con ímpetu, cual dios de la guerra; Júpiter, majestuoso y sereno, dominador de la noche cerrada; Saturno, lento y distante, moviéndose con la dignidad despaciosa de un anciano rey.
A orillas del Báltico, en las noches brumosas y frías de Frombork, la mente clara de Copérnico supo ver que los cinco vagabundos orbitaban el Sol y no la Tierra, y que esta se sumaba a su cortejo como un danzante más. En su madurez, desde su observatorio junto al mar, Copérnico observó, midió, estudió y escribió De revolutionibus orbium coelestium, el libro que vio la luz el año de su muerte, 1543, y que desplazó a la Tierra del centro del Universo de manera tan fiable como dramática.
Cincuenta años después, el 9 de julio de 1595, un joven astrónomo de 23 años llamado Johannes Kepler vivió un mágico momento de inspiración mientras daba clase a sus alumnos en Gratz. Kepler, matemático tenaz y brillante que había sido formado en las ideas de Copérnico, tuvo aquel día la idea que le llevó a imaginar y describir el Sistema Solar como una sucesión de esferas concéntricas, encajadas entre los cinco sólidos perfectos, albergando cada superficie esférica la órbita de un planeta y con el Sol en el centro de todo el conjunto. Un modelo tan elegante, original y atractivo… como equivocado.
Tardó apenas un año en escribir su Mysterium Cosmographicum, el libro en el que explicaba detalladamente su modelo. Esta es la forma en que Kepler combinó los cinco poliedros regulares y las seis esferas con las órbitas de la Tierra y de los cinco planetas conocidos en su tiempo.
En el centro, el Sol. A continuación, la esfera de Mercurio dentro de un octaedro. La esfera de Venus envuelve al octaedro, y queda inscrita dentro de un icosaedro mayor. La esfera de nuestra Tierra envuelve a su vez a ese icosaedro, y se coloca en el interior de un dodecaedro, y el dodecaedro queda envuelto por la esfera de Marte.
Todo este joyero se encaja dentro de un tetraedro, que da paso a los dos planetas gigantes. La esfera de Júpiter envuelve al tetraedro, y a su vez queda encajada, inscrita, en un cubo. Saturno remata el conjunto envolviendo al cubo con su esfera circunscrita, la mayor de las muñecas rusas de este precioso y delicado juguete.
Un poco de Geometría nos ayudará a determinar las proporciones de este modelo. Para comparar los tamaños de las órbitas de la Tierra y de los cinco planetas, utilizaremos las fórmulas que relacionan el lado (arista) de cada poliedro regular, con los radios de sus esferas inscrita y circunscrita. Son estas:
Una deducción de estas fórmulas aparece desarrollada en el Anexo I
En cada celda, junto a la fórmula del radio de cada esfera aparece también el nombre del planeta que Kepler le asignó.
Sobre fondo azul está resaltada la esfera de la Tierra, que Kepler situó inscrita en el dodecaedro y a la vez circunscrita al icosaedro. Tomaremos su radio como 1, y obtendremos así directamente las aristas del icosaedro (l=1,0514) y del dodecaedro (l=0,8981). Con la arista del icosaedro calcularemos el radio de la esfera de Venus (r= 0,7947), y con la arista del dodecaedro el radio de la esfera de Marte (R= 1,2585). Estos serían los radios de las órbitas de nuestros vecinos más próximos en el Sistema Solar… si el modelo fuese correcto. De forma similar pueden calcularse las aristas del octaedro, del tetraedro y del cubo, y a partir de ellas los radios de las esferas de Mercurio, Júpiter y Saturno.
Los tamaños de las órbitas calculados así, ¿coinciden con los que conocemos actualmente? Veámoslo en la tabla siguiente, en la que las distancias aparecen representadas en UA, unidades astronómicas (1 UA es aproximadamente la distancia media entre el Sol y la Tierra).
Las diferencias son notables, y aumentan cuando las distancias crecen. El hermoso y original modelo que el Joven Kepler describió en su Mysterium Cosmographicum no concuerda con los resultados de la observación.
Hoy, más de cuatro siglos después, nos resulta sencillo hablar de aquel primer intento con condescendencia, pero es justo reconocer el valor real que tuvo como primer paso de una carrera que en menos de 25 años llevó a Kepler a establecer las tres leyes que describen con precisión la estructura y el movimiento de nuestro Sistema Solar.
El 1 de enero del año 1600, fecha fácil de recordar, Kepler partió de Graz para establecerse en Praga y trabajar con Tycho Brahe, el impetuoso y rico noble danés, matemático imperial en la corte de Rodolfo II, emperador, mecenas y protector de artistas y científicos. Tycho poseía los instrumentos de observación más precisos del momento (el telescopio aún no se conocía), y el mayor y mejor conjunto de datos astronómicos, recopilados por él a lo largo de décadas de obsesiva dedicación al escrutinio y la medición de los cielos. Tras la muerte de Tycho en 1601, el año siguiente al de su encuentro, Kepler le sucede como matemático imperial.
Para Kepler, los datos de Tycho Brahe supusieron un tesoro de incalculable valor, que aprovechó de manera prodigiosa. Dedicó seis largos años de su vida a tratar de calcular la órbita de Marte utilizando círculos y epiciclos, y comprobó con amargura que dos datos de Tycho no encajaban en su solución por apenas 8 minutos de arco. Muchos hubiesen ignorado los hechos y atribuido el desajuste a un error en la observación, pero no Kepler. Con una honestidad sobrecogedora, desechó novecientas hojas de cálculos laboriosos, admitió que sus hipótesis estaban equivocadas, comenzó de nuevo, y descubrió que la órbita de Marte era… ¡una elipse! El círculo, la forma perfecta admitida sin discusión durante más de dos mil años como patrón del movimiento de los astros, quedaba desplazada por la fuerza de los datos experimentales y era sustituida por una curva diferente, la elipse, en uno de cuyos focos se encontraba el Sol.
En el año 1609, Kepler da forma espléndida a sus trabajos y publica su libro Astronomia Nova. En él coloca definitivamente al Sol en el centro del sistema, le atribuye una influencia sobre los planetas que aumenta con la proximidad, establece la forma elíptica de las órbitas y la velocidad uniforme con que los planetas barren áreas al desplazarse sobre ellas, y refuta acertadamente todos los modelos anteriores. Es una obra revolucionaria que abre de par en par las puertas de una nueva era en la historia de la Ciencia, una contribución colosal sobre la que se fundamentan los tres siglos siguientes de desarrollo de la Astronomía y la Mecánica Celeste.
A la muerte de Rodolfo II en 1612, Kepler abandona Praga y se instala en Linz. Allí, siete años después publica un nuevo libro, Harmonices Mundi (La armonía de los mundos), en el que describe con detalle sus intentos por vincular las trayectorias y desplazamientos de los planetas con los poliedros regulares, e incluso con notas musicales. Él mismo muestra en el libro cómo los resultados no se corresponden con los datos observacionales, ni con el modelo establecido en su revolucionaria Astronomia Nova. Pero en Harmonices Mundi se encuentra un maravilloso remate a su obra global: el primer enunciado de su tercera ley, que relaciona las distancias de los planetas al Sol y los tiempos que tardan en completar sus órbitas.
Kepler muere en Ratisbona, a los 58 años de edad, el 15 de noviembre de 1630. Ese día se apagó una de las más brillantes luces de cuantas alumbraron la Revolución Científica. Su obra cobra aún más valor por haberla construido a lo largo de una vida plagada de momentos amargos y tristes, en una Europa Central asolada por las guerras de religión. Las tres leyes que llevan su nombre mantienen intacto su poder descriptivo más de cuatrocientos años después de su hallazgo:
- Las órbitas que describen los planetas en su movimiento, son elipses en uno de cuyos focos está el Sol.
- El radio vector de un planeta barre sobre su órbita áreas iguales en tiempos iguales.
- La división del cuadrado del tiempo de revolución entre el cubo del semieje mayor de la órbita, da como resultado la misma cantidad constante para todos los planetas.
Una deducción de las tres Leyes de Kepler puede encontrarse en el Anexo III
Apoyado sobre el hombro de este gigante, como él mismo dijo, Isaac Newton enunció en 1687 su Teoría de la Gravitación Universal y dedujo de ella las tres Leyes de Kepler. En un trabajo colectivo de observación sin precedentes a lo largo y ancho del mundo, decenas de astrónomos de países diversos determinaron las dimensiones del Sistema Solar aprovechando los tránsitos de Venus por delante del Sol de los años 1761 y 1769. En 1781, William Herschel identificó por primera vez a Urano como un planeta, y las desviaciones que este presentaba sobre su órbita teórica condujeron a la predicción y descubrimiento de Neptuno en 1846, confirmando espectacularmente la validez de la Gravitación Universal y de las Leyes de Kepler, que rigen también el viaje cíclico de estos planetas que él nunca observó.
Noche tras noche, cada vez que alcemos nuestra mirada al cielo, podremos ver a los cinco vagabundos, impasibles, moviéndose entre las estrellas, siguiendo fielmente los caminos que Kepler trazó para ellos, en sereno homenaje al hombre que desentrañó su Mysterium.
Anexos
ANEXO I. Esferas circunscritas e inscritas a los 5 poliedros regulares
ANEXO II. La geometría del pentágono regular
ANEXO III. La Gravitación Universal y la confirmación de las tres Leyes de Kepler
Bibliografía consultada
- Muñiz Alonso, Sergio. A la búsqueda de la armonía del Universo. Trabajo de Exploración de la asignatura Matemáticas NS, Bachillerato Internacional, convocatoria mayo 2018. (Fuente principal)
- Koestler, A. Kepler. Ed. Salvat. 1985
- North, C., Abel, P. How to read the Solar Sistem. Ed. BBC Books. 2013
- Symon, K.R. Mecánica. Ed. Aguilar. 1968.
- Wulf, Andrea. En busca de Venus. Ed.Taurus. 2020